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Resumos, Dicas e Bizus para concursos públicos

Categoria: Raciocínio Lógico

Proposição Lógica

A lógica matemática gira em torno do conceito de proposição lógica, mas o que é uma proposição lógica ?

Proposição lógica é toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.

Da definição anterior, extraímos as seguintes características de uma proposição lógica:

a) Uma proposição lógica é uma oração, ou seja, possui verbo.

b) Uma proposição lógica é declarativa.

Orações declarativas são aquelas que fazem uma afirmação ou uma negação. Uma consequência dessa segunda característica é que:

Frases exclamativas, interrogativas, imperativas e optativas (que exprimem desejo) não são proposições lógicas.

Sabendo disso, não são proposições lógicas as seguintes frases:

Show de bola!; Como você é linda!  (Frases exclamativas)
Qual o seu nome?;  Qual sua idade ? (Frases interrogativas)
Vá para seu quarto; Fique parado. (Frases imperativas)
Deus te abençoe; Que bons ventos o levem! (Frases optativas)

c) Uma proposição pode assumir um e somente um dos valores lógicos possíveisverdadeiro ou falso.

Atenção! Uma observação muito importante é que não é necessário saber o valor lógico de uma proposição, para determinar se ela é uma proposição lógica ou não. Por exemplo, considere a seguinte afirmação: “Não existe água em Marte”. Não importa se você sabe se existe ou não água em Marte.Independete disso, podemos dizer se essa frase é ou não um proposição lógica. Note que o importante é a afirmação assumir apenas um valor lógico. Ou seja, ou ela é verdadeira ou ela é falsa. Assim, guarde para prova que:

O seu  desconhecimento sobre o assunto não é capaz de descaracterizar uma proposição. O importante é que a proposição só possa assumir um dos dois valores lógicos.

Em resumo, para ser uma proposição lógica, a frase deve atender as características a, b e c. Ou seja, deve possuir verbo, fazer uma afirmação (ou negação) e só pode assumir um e somente um dos valores lógicos.

As proposições lógicas também podem ser expressas por palavras e/ou símbolos matemáticos.  São exemplos de proposições lógicas:

a) 1 + 1 = 2 (verdadeiro)
b) Salvador é a capital da Bahia (verdadeiro)
c) 3 – 1 = 1 (falso)
d) Um dia tem 24 horas (verdade)

Vejamos agora exemplos de frases que não são proposições lógicas:

a) O gato preto

O problema aqui é que a frase não possui verbo.

b) Bom dia!

Temos uma frase exclamativa e proposições devem ser declarativas.

c) Qual o seu nome?

Temos uma frase interrogativa e proposições devem ser declarativas.

d) Deus te proteja.

Temos uma frase optativa e proposições devem ser declarativas

e) Faça o exercício.

Temos uma frase imperativa e proposições devem ser declarativas

f) Essa frase é falsa.

Temos um paradoxo. Nesse caso não é possível determinar o valor lógico dessa frase.

Dúvida do aluno: Professor o que são frases optativas?  Resposta: São aqueles que exprimem desejos. Ex: Deus te proteja, Que você faça uma boa prova, etc.

As proposições são representadas por letras minúsculas (p,q,r,…). Geralmente iniciamos a primeira com a letra p (p de proposição). Veja alguns exemplos:

p:  2+2 = 4
q:  Um dia tem 24 horas.

Feito esse estudo, vamos montar um estratégia para acertar todas as questões que envolvem o conceito de proposição. Para descobrir se uma frase é proposição lógica, você pode seguir as seguintes regrinhas:

1) Se a oração for interrogativa, exclamativa, imperativa ou optativa, então ela não será proposição lógica.

2) Procure por um verbo. Se a frase não possuir verbo, então não será proposição lógica.

3) Verifique se a oração é declarativa (é uma afirmação ou uma negação). Somente nesse caso, ela pode se uma proposição lógica.

4) Verifique se a oração pode assumir um e somente um dos valores lógicos (verdade ou falsidade). Caso contrário, não será proposição lógica.

Princípios ou Axiomas

A lógica matemática adota como regras fundamentais dois princípios (axiomas):

1) Princípio da Não Contradição:  Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
2) Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca um outro caso (terceiro excluído)
3) Princípio da identidade: Uma proposição verdadeira é verdadeira e uma proposição falsa é falsa

Paradoxo

Em um paradoxo não é possível classificar a frase em verdadeira ou falsa

Suponha a seguinte afirmação:  “Essa frase é falsa”. Perceba que se eu disser que afirmação tem valor lógico verdadeiro, eu acabei de me contradizer com que foi afirmado (“Essa frase é falsa”). Do mesmo modo, se eu disser que a frase tem valor lógico falso, eu também caio em contradição, pois é justamente o que está sendo dito (portanto, seu valor lógico deveria ser verdadeiro).

Como vimos na definição , para ser proposição lógica, eu tenho que ser capaz de atribuir um valor lógico. Em paradoxos, isso não é possível. Assim,

Paradoxos não são proposições lógicas

Conectivo e

O conectivo e (^) é utilizado para unir duas ou mais proposições simples e formar uma proposição composta chamada de conjunção. Uma conjunção é verdadeira somente quando todas as proposições simples são verdadeiras. Ou seja, basta que uma proposição seja falsa para que a proposição composta seja falsa.

Suponha as seguintes proposições simples.

p: Pelé é o rei do futebol.

q: Maradona é brasileiro

Agora vamos formas a proposição composta p ^ q (também podemos escrecer p e q).

p ^ q: Pelé é o rei do futebol e Maradona é brasileiro

Qual o valor lógico da proposição composta ? Ora, a proposição p é verdadeira e q é falsa, logo p ^ q é falsa. Lembre-se a conjunção é verdadeira somente quando todas as proposições são verdadeiras. De modo geral, podemos esquematizar todas os possíveis resultados de p ^ q usando um tabela. Essa tabela é chamada de tabela verdade.

p q p e q
V V V
V F F
F V F
F F F

Conectivo ou

O conectivo ou (v) é utilizado para unir duas ou mais proposições simples e formar uma proposição composta chamada de disjunção. Uma disjunção é falsa somente quando todas as proposições simples são falsas. Ou seja, basta que uma proposição seja verdadeira para que a proposição composta seja verdadeira.

Suponha as seguintes proposições simples.

p: Pelé é o rei do futebol.

q: Maradona é brasileiro

Agora vamos formas a proposição composta p v q (também podemos escrecer p ou q).

p v q: Pelé é o rei do futebol ou Maradona é brasileiro

Qual o valor lógico da proposição composta? Ora, a proposição p é verdadeira e q é falsa, logo p v q é verdadeira. Lembre-se para a disjunção ser verdadeira basta que uma das proposições  simples seja verdadeira. De modo geral, podemos esquematizar todas os possíveis resultados de p v q usando uma tabela-verdade.

p q p ou q
V V V
V F V
F V V
F F F

Conectivo ou exclusivo

O conectivo ou exclusivo (v) é utilizado para unir duas proposições simples e formar uma proposição composta chamada de disjunção exclusiva. Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando as proposições simples tem valores lógicos opostos. Ou seja, quando uma verdadeira e a outra é falsa. Se os valores lógicos forem iguais a disjunção exclusiva será falsa. Um forma de memorizar esse conectivo é associar ao sinal de diferente. Ou seja, quando os valores lógicos são “diferentes” (um falso e outro verdadeiro) o ou exclusivo é verdadeiro.

De modo geral, podemos esquematizar todas os possíveis resultados de p v q usando uma tabela-verdade.

p q v q
V V V
V F V
F V V
F F F

Se p e q são as  proposições simples, escrevemos a disjunção exclusiva da seguinte forma: ou p ou q, mas não ambos.

Suponha as seguintes proposições simples.

p: Pelé é o rei do futebol.

q: Maradona é brasileiro

Agora vamos formas a proposição composta p v q (também podemos escrecer p ou exclusivo q).

v q:  Ou Pelé é o rei do futebol Ou  Maradona é brasileiro, mas não ambos.

A ESAF tem utilizado somente a forma “ou p ou q”, sem acrescentar o trecho “mas não ambos”. Isso é possível quando as duas proposições não podem ocorrer ao mesmo tempo. Considere o seguinte exemplo: Ou João está vivo Ou João está morto, mas não ambos. Percebe que nesse caso, a expressão mas não ambos não seria necessãrio. Bastaria escrevermos “Ou João está vivo Ou João está morto” para indicar o “ou exclusivo”.

Conectivo “Se… Então”

A expressão “Se p então q” é representada por p -> q.  Essa estrutura é chamada de condicional. Somente um único caso ele será falsa. É quando temos o caso “Vera Fisher” (V -> F). Ou seja, quando p é V e q é F. Todas as demais combinações levam ao valor verdadeiro. Esquematizando todas os possíveis resultados de p -> q, temos:

p q p -> q
V V V
V F F
F V V
F F V

Suponha as seguintes proposições simples.

p: Pelé é o rei do futebol.

q: Maradona é brasileiro

Agora vamos formas a proposição composta p -> q:

p -> q: Se Pelé é o rei do futebol então Maradona é brasileiro

Qual o valor lógico da proposição composta? Ora, a proposição p é verdadeira e q é falsa, logo p -> q é falsa. Lembre-se que esse é unico caso em que p->q é falsa.

Esse conectivo também pode aparecer de outras formas na sua prova. É preciso memorizar as seguintes expressões equivalentes a “Se p então q”:

Se p, q.
q, Se p.
p é condição suficiente para q.
q é condição necessária para p.
Quando p,q.
p somente se q.
p implica q.
Todo p é q.
p está contido em q

Conectivo “…se e somente se…”

A expressão “p se e somente se q” é representada por p <-> q.  Essa estrutura é chamada de bicondicional. Ele é verdadera somente se os valores lógicos forem iguais. Ou seja, ambos verdadeiros ou ambos falsos. Caso contrário, o bicondicional é falso. Esquematizando todas os possíveis resultados de p <-> q, temos:

p q p <-> q
V V V
V F F
F V F
F F V

Esse conectivo também pode aparecer de outras formas na sua prova. É preciso memorizar as seguintes expressões equivalentes a “p se e somente se q”:

p se e só se q
Se p então q e se q então p
p somente se q e q somente se p
Todo p é q e todo q é p
p é condição suficiente e necessária para q
q é condição suficiente e necessária pra p

Negação (~)

A negação de um proposição lógica p é representada por ~p (não p). Esse operador inverte valor lógico de p. Ou seja, se p é verdadeira passa a ser falso e vice-versa.  Esquematizando temos:

p ~p
V F
V F

Suponha as seguintes proposições simples.

p: Pelé é o rei do futebol
q: Maradona é brasileiro

As respectivas negações seriam:

p: Pelé não é o rei do futebol
q: Maradona não é brasileiro

Outra forma de negar a proposição é inserir no início da frase expressões do tipo: “Não é verdade que”, “É falso que”, “É mentira que”, etc.

Exemplos:

a) p: Maria é médica; ˜p: Não é verdade que Maria é médica

b) q: João é estudante; ˜q: É falso que João é estudante

Tautologia, Contradição e Contingência

Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Um exemplo de tautologia é a proposição lógica  (A ^ B) -> ( A v B).

Vamos provas isso através da sua tabela-verdade

A B A ^ B A v B (A ^ B) -> ( A v B)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V

Uma contradição é uma proposição composta que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Um exemplo de contradição é a proposição lógica  ( A <-> ~B ) ^ ( A ^ B ).

Vamos provar isso por meio da sua tabela-verdade

A B A <-> ~B A ^ B ( A <-> ~B ) ^ ( A ^ B )
V V F V F
V F V F F
F V V F F
F F F F F

Por fim, uma contingência é uma proposição composta que não é uma tautologia nem uma contradição.

Construção da Tabela-Verdade

A primeira coisa que precisamos é saber quantas linhas a tabela-verdade vai ter. Para isso, usamos a seguinte fórmula:

O número de linhas da tabela-verdade é dado por  2n

Onde n é número de proposições simples e distintas.

Note bem! as proposições, além de simples, tem que ser distintas! Traduzindo para o bom português, você deve contar quantas letras diferentes aparecem na proposição composta.

De posse do número de linhas, basta preencher tabela. E como fazemos isso?

Você vai seguir algumas regras…

Para entender o processo, vamos criar a tabela-verdade da proposição composta (P ^ R) -> Q.

1) O primeiro passo é calcular o número de linhas da tabela. Temos 3 letras distintas (P,R,Q). Assim, 23 = 8 linhas. Ou seja, a tabela-verdade terá 8 linhas.

P R Q

2) Divida a quantidade de linhas da tabela por 2. Preencha com V a primeira coluna até o valor encontrado na divisão, depois preencha com F. Ou seja, você vai preencher até metade da tabela com V, depois vai preencha a outra metade com F.

No nosso exemplo, temos 8 linhas. Assim 8/2 = 4. Vamos preencher até 4 linhas com V e restante com F.

P R Q
V
V
V
V
F
F
F
F

3) Divida a quantidade de linhas por 4. Preencha com V a segunda coluna até a posição encontrada na divisão, depois preencha com F (mesma quantidade). Em seguida preencha V (mesma quantidade) e depois com F (mesma quantidade). Ou seja, você vai preencher até um quarto da tabela com V e o próximo quarto com F e assim sucessivamente. 

No nosso exemplo, temos 8 linhas. Logo, 8/4=2. Ou seja, vamos alternar de 2 em 2.

P R Q
V V
V V
V F
V F
F V
F V
F F
F F

3) Aposto que você já pegou o “espírito da coisa”. O que vamos fazer agora? Isso mesmo! Vamos dividir a quantidade de linhas por 8. Ou seja, você vai preencher até um oitavo da tabela com V’s e o próximo oitavo com F’s e assim sucessivamente.

Como temos 8 linhas, 8/8=1. Ou seja, vamos alternar de 1 em 1

P R Q
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

Equivalência

Duas proposições são equivalentes quando suas tabelas-verdade apresentam os mesmo valores. Na prática, isso significa que uma proposição pode ser substituida pela sua equivalente. Utilizamos o símbolo <=> para indicar que uma proposição é equivalente a outra. É necessário memorizar as seguintes equivalências.

p -> q <=> ~q -> ~p
p -> q <=> ~p v q

Negação de Proposições Compostas

Para negação de proposições compostas utilizamos as duas leis de morgan. São elas:

1) ~ (p ^ q ) <=> ~ p v ~q
2) ~ (p v q) <=> ~ p ^ ~q

Negação do Bicondicional e do Ou exclusivo

Como vimos, o bicondicional é verdadeiro quando as proposições tem o mesmo valor lógico. Já o ou exclusivo é verdadeiro quando as proposições tem valores lógicos opostos. Ou seja, um é justamente o contrário do outro. Assim, a negação do bicondicional leva ao ou exclusivo e vice-versa.

~(p->q)  <=> p v q

Negação dos termos todo, nenhum e algum

Os termos todo,  nenhum e algum geralmente aparecem em provas da ESAF. É preciso memorizar as suas negações. São elas:

Proposição Negação
Algum Nenhum
Todo Algum…não

Questões de Concursos 

(ESAF – AFRE MG/SEF MG/2005) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente:

 a) Não, sim, não
b) Não, não, sim
c) Sim, sim, sim
d) Não, sim, sim
e) Sim, não, sim

Comentários:

p: O dragão desaparecerá amanhã

q: Aladim beijou a princesa ontem.

 p <-> q: O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem

1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

Se afirmação é falsa é porque p <-> q é falsa. Para o bicondicional seja falso, p e q devem ter valores lógicos opostos V/F ou F/V. Também foi dito que dragão vai desaparecer, ou seja, p é V. Logo, q é F. Assim, NÃO, “Aladim não beijou a princesa ontem”.

2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

Se afirmação é verdadeira é porque  p <-> q é verdadeiro. Para o bicondicional seja verdadeiro,  p e q devem ter valores lógicos iguais V/V ou F/F. Também foi dito que o dragão irá desaparecer. Logo, p é V.  Portanto, q é  V . Ou seja, SIM, “Aladim beijou a princesa ontem”

3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

Se afirmação é falsa é porque  p <-> q é falso.Para o bicondicional seja falso, p e q devem ter valores lógicos opostos V/F ou F/V. Também foi dito que Aladim não beijou a princesa. Logo, q é F.  Portanto, p é V . Ou seja, SIM, “O dragão desaparecerá amanhã”.

Temos a sequência: NÃO,SIM,SIM. Portanto, gabarito: D

(ESAF – GeFaz (SEF MG)/SEF MG/2005) Considere a afirmação P:

P: “A ou B”
onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

 a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

Comentários:

Se a proposição P (A ou B) é falsa é porque ambas as proposições A e B são falsas.

Se A é falso, logo Carlos não é dentista.

Se B é falso é temos o caso “Vera Ficher” (V->F). Logo, temos que Enio é economista e Juca não é arquiteto.

Poranto, gabarito: B

(ESAF – APOFP SP/SEFAZ SP/2009) Assinale a opção verdadeira.

 a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

Comentários:

 a) 3 = 4 (F) ou 3 + 4 = 9 (F) <=> F v F <=> F
b) Se 3 = 3 (V), então 3 + 4 = 9 (F) <=> V -> F <=> F
c) 3 = 4 (F) e 3 + 4 = 9 (F) <=> F ^ F <=> F
d) Se 3 = 4 (F), então 3 + 4 = 9 (F) <=> F -> F <=> V
e) 3 = 3 (V) se e somente se 3 + 4 = 9 (F) <=> V <-> F <=> F

Gabarito: D

(ESAF – EPPGG/MPOG/2009) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:

 a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da Inglaterra.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.

Comentários:

 a) Se Roma é a capital da Itália (V), Londres é a capital da França (F).  V->F <=> F
b) Se Londres é a capital da Inglaterra (V), Paris não é a capital da França (F). V->F <=> F
c) Roma é a capital da Itália (V) e Londres é a capital da França (F) ou Paris é a capital da França (V). V ^ F v V <=> V
d) Roma é a capital da Itália (V) e Londres é a capital da França (F) ou Paris é a capital da Inglaterra (F). V ^ F v F <=> F
e) Roma é a capital da Itália (V) e Londres não é a capital da Inglaterra (F). V ^ F <=> F

Gabarito: C

(ESAF – AFT/MTE/1998)  Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

 a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Comentários.

Fazendo:

p: João é alto
q: Guilherme é gordo

Na letra A, temos: p -> p v q

O único caso que o condicional dá falso é o V->F. Para isso, p deve ser V. Assim temos, V -> V v q. Contudo, assumir p como V, força o consequente (p v q) ser também verdadeiro, pois V v q <=> V, independente do valor de q. Assim, não é possível termos o valor V->F. Dessa forma, p->p v q é sempre verdadeiro, ou seja, uma tatutologia.

Gabarito: A

(ESAF – AnaTA MF/MF/2013)  Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~ P Λ P é:

 a) uma tautologia.
b) equivalente à proposição ~ P V P .
c) uma contradição.
d) uma contingência.
e) uma disjunção.

Comentários:

Se p por V, temos F ^ V que dá F. Se p for F, V ^ F que dá F. Ou seja, ~P ^ P  é sempre falso. Esse tipo proposição é chamad de contradição. Gabarito: C

(ESAF – EPPGG/MPOG/2009) – Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo:

 a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.
b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.
c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.
d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.
e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.

Comentários:

Em uma proposição do tipo p->q. Temos que:

p é condição suficiente para q.
q é condição necessária para p.

Assim,

O dia estar bonito é condição suficiente para não chover.

Não chover é condição necessária para o dia estar bonito

Portanto, gabarito: A

(ESAF – ATRFB/SRFB/2009) A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a:

 a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.

Comentários:

É necessário memorizar as seguintes equivalências.

(1) p -> q <=> ~q -> ~p
(2) p -> q <=> ~p v q

Para essa questão vamos utilizar a equivalência (2)

  ~p v q  <=>  p -> q

~p: João não chegou
q: Maria está atrasada

Logo, p->q será: Se João chegou, Maria está atrasada.

Gabarito: D

(ESAF – TFC (CGU)/CGU/2008) Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:

 a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

Comentários:

É necessário memorizar as seguintes equivalências.

(1) p -> q <=> ~q -> ~p
(2) p -> q <=> ~p v q

Para essa questão vamos utilizar a equivalência (2):  ~p v q  <=>  p -> q

~p: A inflação não baixa
q: Taxa de juros aumenta

Logo, p->q será: Se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.

Gabarito: D

(ESAF – AFC (CGU)/CGU/2002)  Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:

 a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Comentários:

Para resolver essa questão utilizando a lei de morgan: ~(p ^ q) <=> ~p v ~q

p: Pedro é pobre
q: Alberto é alto

Logo, ~p v ~q é Pedro não pobre ou Alberto não é alto.

Gabarito: A

(ESAF – GeFaz (SEF MG)/SEF MG/2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:

 a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
d) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.
e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.

Comentários:

É necessário memorizar as seguintes equivalências.

(1) p -> q <=> ~q -> ~p
(2) p -> q <=> ~p v q

Vamos utilizar a (2).

p: Pedro está em Roma
q: Paulo está em Paris

~(p->q) <=> ~(~p v q )

~(~p v q) pode ser escrito como: Não é verdade que Pedro não está em roma ou Paulo está em Paris. Portanto, gabarito D.

Lógica de Argumentação

Lógica de Argumentação

Um argumento é uma estrutura lógica formada por premissas e uma conclusão. As  premissas e a conclusão são proposições lógicas.

Um argumento pode ser classificado como válido ou inválido.  Um argumento é chamado de válido se ao consideramos as premissas verdadeiras necessariamente a conclusão é verdadeira. Caso isso não ocorra, o argumento é chamado de inválido.

Verificando a validade de um argumento

Para verificar a validade de um argumento assumimos as premissas verdadeiras e verificamos se necessariamente chegamos a uma conclusão verdadeira.

Seja o seguinte argumento.

Premissa 01: p v q
Premissa 02: ~p
Conclusão: q

O argumento tem duas premissas e um conclusão. O primeiro passo é fazer as premissas terem valor lógico V.

Premissa 01: p v q  V
Premissa 02: ~ p  V

Da premissa 02, temos ~p é V, logo p é F.  Também assumimos que p v q é V  e descobrimos que p é F. Substituindo temos premissa 02 é do seguinte tipo: F v q. Ora, para F v q ser V o valor de q tem ser V (note que se fosse F a premissa 01 seria F).

Da análise das premissas temos os seguintes resultados:

p é falso
q é verdade.

Ora, a nossa é conclusão é próprio q que tem valor V. Então podemos dizer que a conclusão é V. Note quem assumimos as premissas verdadeiras e chegamos necessariamente a uma conclusão V. Por isso, o argumento é válido.

Vejamos mais um exemplo. Considere o seguinte argumento.

Premissa 01: A -> (~B ^ C)
Premissa 02: ~A -> B
Premissa 03: D ^ ~C
Conclusão: B -> ~D

O primeiro passo é assumir as premissas como verdadeiras. Vamos iniciar pela premissa 03.

Se D ^ ~ C é Verdade, para que isso ocorro,  é porque D é V e  ~C é V. Logo, C é F.

Olhando agora a premissa 01, temos:

A -> (~B ^ C) é Verdade. Já sabenos que C é F. Assim, temos:

A -> (~B ^  F) , logo  A -> F. Ora como a premissa 01 é verdade e temos A->F, O valor lógico de A não pode ser V (lembre-se que V->F que o condicional é falso), logo A é F.

Até aqui temos D=V, C=F e A=F.

Vamos olhar agora a premissa 02.

~A -> B <=>

~F -> B <=>

V -> B.  Note que B não pode ser F (senão teríamos V->F). Assim, B é V.

Da análise da premissas temos:

C = F, A=F, D = V , B = V

Vamos olhar a conclusão.

B -> ~D  <=>

V -> F.  Ora, V->F tem valor lógico F. Assim, a conclusão é F. Ora, assumimos as premissas com V e chegamos a um valor F. Logo, o argumento é inválido.

Método Alternativo

No método anterior tentamos provar que o argumento é válido. Agora o raciocínio muda um pouco. Vamos tentar mostrar que o argumento é inválido. Assumindo a conclusão como falsa e as premissas como verdadeiras. Se isso for possível é porque, de fato, o argumento é inválido. Caso contrário, é porque ele é valido.

Seja o seguinte argumento.

Premissa 01: p v q
Premissa 02: ~p
Conclusão: q

Considerando a conclusão F, temos que q=F. Considerando que a premissa 01 é V. Temos:

p V q <=>

p v F.  Ora, para premissa ser verdadeira, temos que p é necessariamente V. Até aqui temos:

q = F, p = V

A premissa 02 é dada por ~p, como p é V, ~p é F. O problema é que nossa premissa deveria ser V. Isso ocorre porque na verdade o argumento é válido.

Vejamos mais um exemplo. Considere o seguinte argumento.

Premissa 01: A -> (~B ^ C)
Premissa 02: ~A -> B
Premissa 03: D ^ ~C
Conclusão: B -> ~D

Assumimos que a conclusão é F, logo B -> ~D tem ser do tipo V->F. Dito isso, temos:

B = V
~D = F  (ou  que D = V)

Vamos para premissa 01.

A -> (F ^ C) <=>

A -> F. Como a premissa é verdadeira A deve ser F. Dito isso, temos até aqui:

B = V, D = V, A = F

Vamos para a premissa 02

 ~A -> B  <=>

V -> V. Logo, a premissa 02 é de fato V.

Por fim, vejamos a Premissa 03:

D ^ ~C

V ^ ~C. Logo, temos que ter ~C como V. Logo, C = F

Veja que o valor de C=F nao muda o resultado da premissa 01 (outro lugar onde C aparece).

Com isso, conseguimos mostrar que é possível ter a conclusão F e todas a premissas V. Logo, o argumento é, de fato, inválido.

Questões de Concursos

(ESAF – ATEng (Pref RJ)/Pref RJ/2010) Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: “Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”.

Uma conclusão falsa desta proposição é:

 a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o triângulo não é equilátero.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns dos outros.

Comentários:

Fazendo

p: Um triângulo é equilátero
q: Três ângulos são iguais

Temos p <-> q como sendo a proposição do enunciado. Agora vamos analisar os itens,

a) p <-> q significa p é condição necessária e suficiente para q ( e vice-versa). Portanto, essa alterativa está correta.

b) A letra b é consequência imediata de p <-> q.  Dizer que “Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais” corresponde a dizer que  “Os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais” ou que “Um triangulo equilátero tem os 3 ângulos iguais”. Portanto, correta.

c) Essa alternativa é a própria premissa. Portanto, é uma conclusão imediata da premissa. Correto.

d)  Vamos chamar de r a seguinte proposição: “Um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo”

Assim a alternativa é formada pela seguinte proposição:  r -> ~p. Para que ela seja falsa teríamos que ter V -> F (caso Vera Ficher). Se  r é V (como sabemos que  “Os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais”), p é F. Logo, ~p é V. Ou seja, se eu assumir r como V vou ter sempre V -> V. Isso significa todas as combinaçoes de r ->~p resultarão em V. Portanto, item correto.

e)  Vamos chamar de r a seguinte proposição:  três ângulos são diferentes uns dos outros.

Dito isso, a conclusão é representada por  ~p -> r. Para ele ser falsa tenho que ter o caso V->F. Se ~p é V, significa o triângulo não é equilátero. Usando a nossa premissa (Os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais), chegamos a conclusão os ângulos não são iguais. Contudo, isso não é mesma coisa que dizer que   três ângulos são diferentes uns dos outros (basta que dois deles sejam diferentes). Assim, não posso afirmada nada sobre o valor lógico de r. E se r for F, termos ~p -> r como F. Portanto, item INCORRETO.

Gabarito: E

(ESAF – AUFC/TCU/1999) Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo,

 a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia
b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia
c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz
d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz
e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz

Comentários:

Nessa questão são dadas a premissas e temos que encontrar a conclusão. Para resolver essas questões assumimos que o argumento é válido. Então partindo de premissas verdadeiras chegamos a uma conclusão necessariamente verdadeira.

Premissa 01: Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. 
Premissa 02: Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. 
Premissa 03: Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. 
Premissa 04: Ora, Beto não briga com Bia. 

Trocando por letras temos:

Premissa 01: p -> q
Premissa 02: q -> r
Premissa 03: r -> s
Premissa 04: ~s

Assumindo as premissas verdadeiras temos:

~s = V, logo s=F
r – > s  <=> r -> F, logo r = F
q -> r <=> q ->  F, logo q = F
p -> q <=> p -> F, logo p = F

Assim temos que:

Beto não briga com Bia
Bia não via ao bar
Beatriz não briga com Bia
Beraldo não briga com Beatriz

Portanto, gabarito C

(ESAF/AUFC/TCU/1999) Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.

 a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.
b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.
e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.

Comentários:

O enunciado trouxe as seguintes premissas.

Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice
Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa
Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda
Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.

Trocando por letras temos:

Premissa 01: p -> ~q
Premissa 02: q v r
Premissa 03: ~s -> p
Premissa 04: ~r ^ ~t

Da premissa 04 temos que: ~r é V e ~t é V. Logo,

Ênia não é filha de Elisa
Inês não é filha de Isa

Partindo para premissa 02 temos: q v r  <=> q v F. Logo, para premissa ser V,  q  deve ser V. Assim,

Ana é filha de Alice

Usando a premissa 01 temos: p -> ~q <=> p -> F. Assim, para premissa ser v, p deve F.

Flávia não é filha Fernanda

Usando a premissa 03 temos: ~s -> p. Assim, ~s -> F. Logo, ~s deve ser F. Assim,

Paula  é filha de Paulete.

Reunindo as frases temos:

Ênia não é filha de Elisa
Inês não é filha de Isa
Ana é filha de Alice
Flávia não é filha Fernanda
Paula é filha de Paulete.

Portanto, gabarito B

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